- А что могло бы случиться? - спросил я недоумевающе.
Сляпенарский поежился.
- Мы бы вывернулись наизнанку, - сказал он.
Мартин Гарднер.
Остров пяти красок
Martin Gardner. The Island Of Five Colours
(Fantasia Mathematica, N.Y., 1958)
В Монровии, столице Либерии, есть только один магазин москательных
товаров. Когда я сказал темнокожему клерку, сколько галлонов краски мне
нужно, он поднял в удивлении кустистые брови и присвистнул:
- Не иначе, как вы собрались выкрасить гору, мистер!
- Нет, - заверил я его, - не гору, всего лишь остров.
Клерк улыбнулся. Он думал, что я шучу, но я действительно собирался
выкрасить целый остров в пять цветов: красный, синий, зеленый, желтый и
пурпурный.
Для чего мне это понадобилось? Чтобы ответить на этот вопрос, мне
придется вернуться на несколько лет назад и объяснить, почему я
заинтересовался проблемой "четырех красок" - знаменитой, тогда еще не
решенной проблемой топологии. В 1947 г. профессор Венского университета
Станислав Сляпенарский прочитал в Чикагском университете цикл лекций по
топологии и теории относительности. Я в то время был преподавателем
математического факультета Чикагского университета (теперь я уже доцент).
Мы подружились, и мне выпала честь представить его членам общества
"Мебиус" в тот вечер, когда он прочитал свою сенсационную лекцию о
"нульсторонних поверхностях". Читатели, следившие за научными достижениями
Сляпенарского, должно быть, помнят, что он вскоре после этого скончался от
сердечного приступа в начале 1948 г.
Проблема четырех красок была темой моей докторской диссертации. Еще
до визита Сляпенарского в США мы обменялись с ним несколькими письмами,
обсуждая различные аспекты этой трудной проблемы. Гипотеза о четырех
красках утверждает, что для правильной раскраски любой карты (при которой
любые две сопредельные страны, имеющие общий отрезок границы, будут
выкрашены в различные цвета, и две страны не считаются сопредельными, если
их границы имеют лишь одну общую точку) достаточно четырех красок. Страны
на карте могут быть любых размеров и самых причудливых очертаний. Число их
также может быть произвольным. Гипотеза четырех красок была впервые
высказана одним из создателей топологии, Мебиусом, в 1860 г., и, хотя над
решением ее бились лучшие умы в математике, ее не удавалось ни доказать,
ни опровергнуть [рассказ написан в 1952 г.; положительное решение проблемы
четырех красок было найдено в 1978 г.].
По странному стечению обстоятельств проблема четырех красок была
решена для всех поверхностей, кроме сферы и плоскости. В 1890 г.
Р.Дж.Хивуд доказал, что для раскраски поверхности тора (поверхности
бублика) необходимо и достаточно семи красок, а в 1934 г. Филип Франклин
доказал, что шести красок достаточно для раскраски карт на односторонних
поверхностях типа листа Мебиуса и бутылки Клейна.
Открытие Сляпенарским нульсторонних поверхностей возымело далеко
идущие последствия для изучения свойств бутылки Клейна и произвело
подлинный переворот в исследованиях по проблеме четырех красок. Как сейчас
вижу мощную фигуру Сляпенарского, который, улыбаясь и теребя бородку,
говорит: "Дорогой Мартин, если история топологии чему-нибудь и учит, то
только тому, что следует ожидать самых неожиданных и удивительных связей
между, казалось бы, совершенно не связанными между собой топологическими
проблемами".
Развивая некоторые идеи Сляпенарского, я опубликовал в 1950 г. свою
известную работу с опровержением "доказательства" Хивуда (полагавшего, что
для правильной раскраски карты плоскости необходимо и достаточно пяти
красок). По всеобщему убеждению топологов, для правильной раскраски
плоскости или сферы достаточно четырех красок, но в свете новейших
достижений становится ясно, что от строгого доказательства такого
утверждения мы в настоящее время находимся дальше, чем когда-либо.
Вскоре после выхода в свет моей работы по проблеме четырех красок мне
довелось завтракать в университетском клубе "Четырехугольник" с
профессором Альмой Буш. Альма - один из ведущих наших антропологов и,
несомненно, самая красивая женщина во всем университете. Хотя ей уже под
сорок, выглядит она молодо и весьма женственна. Глаза у нее светло-серые,
и когда Альма о чем-то думает, то имеет обыкновение чуть-чуть их щурить.
Альма только что вернулась из экспедиции на небольшой остров,
расположенный в нескольких сотнях миль от побережья Либерии у западной
кромки африканского материка. Она возглавляла группу
студентов-антропологов, изучавших нравы и обычаи пяти племен, населявших
остров. Племена эти представляли огромный интерес для антрополога, так как
их обычаи варьировались в необычайно широких пределах.
- Остров разделен на пять областей, - сообщила мне Альма, вставляя
сигарету в длинный мундштук из черной пластмассы.
- Все они граничат друг с другом. Это важно для понимания тамошних
нравов. Общность границ позволяет племенам поддерживать некое единство
культур. Что с тобой, Марти? Почему у тебя такой изумленный вид?
Я застыл, так и не донеся вилку до рта, и медленно положил ее на
стол.
- Потому, что ты рассказываешь невероятные вещи. Такого просто не
может быть.
Альма была уязвлена:
- Чего не может быть?
- Пяти племен, имеющих общие границы. Это противоречит знаменитой
проблеме четырех красок.
- Противоречит чему?
- Проблеме четырех красок, - повторил я. - Есть такая проблема в
топологии. Хотя она никем не доказана и не опровергнута, никто не
сомневается, что она верна.
Я принялся концом ложки чертить на скатерти, пытаясь объяснить Альме,
в чем здесь дело.
Альма быстро схватила общую идею.
- Может быть, у островных племен другая математика? - высказала она
предположение, щурясь от дыма сигареты.
Я покачал головой.
- Математика, дорогая моя, едина для всех культур. Дважды два всегда
четыре, даже в Африке.
Альма не разделяла моего мнения. Она сказала, что в математическом
мышлении первобытных обществ имеются весьма значительные культурные
"вариации". Лично ей известно, добавила она, одно племя, стоящее на крайне
низком уровне развития, члены которого считают, что если к двум лодкам
прибавить две лодки, то неизменно получится пять лодок.
- Значит, они просто не умеют считать, - заметил я.
- Так, как ты, - добавила Альма. В ее серых глазах прыгали смешинки.
- Видишь ли, Альма, - сказал я, когда мы приступили к малиновому
компоту, - если твой остров действительно разделен так, как ты говоришь,
на пять областей, каждая из которых имеет общую границу с четырьмя другими
областями, то я начинаю верить в математические способности твоих
островитян. Нет ли у тебя карты острова?
Альма покачала головой:
- Топографические съемки острова никогда не проводились. Надеюсь, нам
удастся положить его на карту по возвращении.
Разумеется, слова Альмы мало в чем убедили меня, но она упрямо стояла
на своем, и я никак не мог разобрать, говорит ли она серьезно или просто
разыгрывает меня.
- А почему бы тебе не отправиться с нами? - предложила Альма,
стряхивая пепел. - Я пробуду там с месяц. Мне нужно проверить кое-какие
данные перед тем, как опубликовать их, а ты тем временем займешься
топографической съемкой острова. Если то, о чем я тебе рассказала, не
подтвердится, обязуюсь возместить твои расходы.
Что я терял? Разумеется, мысль о розыгрыше по-прежнему не оставляла
меня, но вскоре должны были начаться летние каникулы, а путешествие
обещало быть приятным и необычным. Кроме того, мне давно хотелось
посмотреть, как работают антропологи, и когда мы с Альмой не спорили, то
отношения между нами не оставляли желать лучшего.
Из Нью-Йорка в Монровию мы отправились на теплоходе. В Монровии был
небольшой аэродром, откуда до острова можно было добраться на самолете,
совершавшем еженедельно рейс туда и обратно. На остров по воздуху
доставлялись различные припасы, а с острова на материк - кокосовые орехи,
служившие сырьем для добывания пальмового масла, и кофе, которые
составляли две основные статьи экспорта. Альма отвела мне место в палатке,
в которой студенты-антропологи устроили свой штаб.
Небо было безоблачным, солнце палило немилосердно. Я облачился в
шорты и рубашку цвета хаки и огромный пробковый шлем, защищавший мою
голову от палящих лучей солнца. Альма также переоделась в шорты, но,
должен признаться, выглядела в них лучше, чем я.
Лагерь наш был расположен на полянке у самой опушки девственного
тропического леса. Стоило сделать шаг, как из-под ног в разные стороны
разбегались сотни юрких ящерок. В воздухе стоял неумолчный гул несметных
полчищ мух и москитов, но мы обильно умащивали все открытые части тела
какой-то отвратительно пахнувшей жидкостью для отпугивания насекомых, и
мошкара беспокоила нас значительно меньше, чем можно было ожидать.
На второй день нашего пребывания на острове Альма познакомила меня с
одним из островитян по имени Агуз. По-английски Агуз не говорил, но Альма
уже в достаточной мере владела местным диалектом, чтобы общаться с ним.
Это был высокий добродушный негр с крутыми скулами, ослепительно белыми
зубами и темно-коричневой кожей приятного теплого оттенка. Мощный торс был
обнажен, только на шее красовался галстук-бабочка. Брюки Агуза
заканчивались на несколько дюймов выше лодыжек, выставляя на всеобщее
обозрение носки в красную и желтую клеточку. С кожаного ремня свисал
брелок со значком какого-то университетского клуба. Когда мы обменялись
рукопожатиями, Агуз что-то прорычал.
- Он счастлив познакомиться с вами, - перевела Альма.
Агуз был одним из членов племени хийику, составлявшего
интеллектуальную элиту острова. Лет десять назад, пояснила Альма, группа
антропологов из Принстонского университета занималась изучением обычаев
хийику, и Агуз перенял у них манеру одеваться.
Альма договорилась с Агузом совершить втроем пеший поход по всему
острову. К счастью, островок был невелик: площадь его не превышала 25
квадратных миль. Пустившись в путь с утра пораньше, мы могли к вечеру
успеть обойти весь остров. Я прихватил с собой блокнот и коробку
карандашей, чтобы набросать хотя бы грубую карту пяти областей.
Свой первый визит мы нанесли племени хийику, на территории которого
был расположен наш лагерь. Деревня, где жили хийику, была скоплением
круглых глиняных хижин с коническими крышами из пальмовых листьев.
Соплеменники Агуза были одеты так же, как он, если не считать брелока со
значком университетского клуба, подаренного Агузу одним из принстонских
профессоров. Обитатели деревни высыпали из хижин и, покуривая трубки,
наблюдали за нами с философской невозмутимостью. Большинство женщин сидели
разбившись на мелкие группы и плели маты из пальмового волокна.
На верхнем листке своего блокнота я нарисовал круг и закрасил его
синим. Точная конфигурация территории, занимаемой хийику, была неизвестна,
но для моих целей было вполне достаточно и этого грубого приближения.
Когда мы, двигаясь на запад, оказались на территории, занимаемой племенем
вольфези, я слева от синего кружка поставил загогулину и закрасил ее в
зеленый цвет.
Этот цвет я выбрал потому, что весь, с позволения сказать, костюм
вольфези состоял из нитки зеленых бус. Это племя состояло из одних лишь
мужчин. Альма сумела бы рассказать вам массу интересных деталей, но я
